Приветствую Вас, Гость

 

Преобразование графика функции

Преобразования графиков функций — это линейные преобразования функции y = f(x) или её аргумента x к виду y =af(kx + b) + m, а также преобразование с использованием модуля.

Зная, как строить графики функции y = f(x), где y = kx + b, y = ax2y = xn , y=xky = sin x, y = cosx, y = tgx, y = ctgx, y=axhttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3B.pngy=logax, можно построить график функции y = af(kx + b) + m.

 

 

Общий вид функции

 

 

Преобразования

y = f(x - b)

Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | b | единиц

  • вправо, если b > 0;
  • влево, если b < 0.

y = f(x + b)

  • влево, если b > 0;
  • вправо, если b < 0.

y = f(x) + m

Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | m | единиц

  • вверх, если m > 0,
  • вниз, если m < 0.
 

Отражение графика

y = f( - x)

Симметричное отражение графика относительно оси ординат.

y = - f(x)

Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.

 

Сжатие и растяжение графика

y = f(kx)

  • При k > 1 — сжатие графика к оси ординат в k раз,
  • при 0 < k < 1 — растяжение графика от оси ординат в k раз.

y = kf(x)

  • При k > 1 — растяжение графика от оси абсцисс в k раз,
  • при 0 < k < 1 — cжатие графика к оси абсцисс в k раз.
 

Преобразования графика с модулем

y = | f(x) |

  • При f(x) > 0 — график остаётся без изменений,
  • при f(x) < 0 — график симметрично отражается относительно оси абсцисс.

y = f( | x | )

  • При x>0 — график остаётся без изменений,
  • при x < 0 — график симметрично отражается относительно оси ординат.

Формулы и свойства логарифмов

Определение

Логарифмом числа  по основанию  (  ) называется такое число , что , то есть записи и  равносильны. Логарифм имеет смысл, если .

Если немного перефразировать - Логарифм числа  по основанию  определяется как показатель степени, в которую надо возвести число , чтобы получить число  (Логарифм существует только у положительных чисел).

Логарифм в переводе с греческого буквально означает "число, изменяющее отношение".

Специальные обозначения:

  1. Натуральный логарифм  - логарифм по основанию , где  - число Эйлера.
  2. Десятичный логарифм  - логарифм по основанию 10.

Свойства логарифмов:

    - основное логарифмическое тождество.

 
 Формулы  тригонометрии
Основные тригонометрические тождества

sin2x + cos2x = 1

tgx   =   sinx
cosx
ctgx   =   cosx
sinx

tgx ctgx = 1

tg2x + 1   =   1
cos2x
ctg2x + 1   =   1
sin2x
Формулы двойного аргумента

sin2x = 2sinx cosx

cos2x = cos2x - sin2x = 2cos2x - 1 = 1 - 2sin2x

Формулы половинного аргумента
 

sin2

x   =   1 - cosx
2 2
cos2 x   =   1 + cosx
2 2
tg2 x   =   1 - cosx
2 1 + cosx

Формулы суммы и разности  аргументов

sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ
cos(α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ

tg(α + β)   =   tgα + tgβ
1 - tgα tgβ
 
tg(α - β)   =   tgα - tgβ
1 + tgα tgβ

sin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ
cos(α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ

Формулы суммы тригонометрических функций
 
sinα + sinβ   =  2sin α + β  ∙ cos α - β
2 2
cosα + cosβ   =  2cos α + β  ∙ cos α - β
2 2

(sinα + cosα)2 = 1 + sin2α

tgα + tgβ   =   sin(α + β)
cosα cosβ
Формулы разности тригонометрических функций
 
sinα - sinβ   =  2sin α - β  ∙ cos α + β
2 2
cosα - cosβ   =  -2sin α + β  ∙ sin α - β
2 2

(sinα - cosα)2 = 1 - sin2α

tgα - tgβ   =   sin(α - β)
cosα cosβ
Формулы произведения тригонометрических функций
 
sinα ∙ sinβ   =   cos(α - β) - cos(α + β)
2
sinα ∙ cosβ   =   sin(α - β) + sin(α + β)
2
cosα ∙ cosβ   =   cos(α - β) + cos(α + β)
2

 

Метод рационализации